Первое, что важно понять: 1/(1+√2) = -(1-√2)
1/(1+√2) = (1-√2) / ((1+√2)(1-√2)) = (1-√2) / (-1)= √2 - 1
аналогично:
1/(√2+√3) = (√2-√3) / ((√2+√3)(√2-√3)) = (√2-√3) / (-1)= √3 - √2
т.е., если избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби, то дробь заменится равным иррациональным числом со знаменателем 1
это сопряженные иррациональные выражения...
1/(√80+√81) = (√80-√81) / ((√80+√81)(√80-√81)) = (√80-√81) / (-1) =
= √81-√80 ((использована формула разность квадратов)))
можно знак минус вынести за общую скобку...
-(1-√2) -(√2-√3) -(√3-√4)... -(√80-√81) = -(1-√2+√2-√3+√3-√4...+√80-√81) =
= -(1+0+0+0+...-√81) = -(1-9) = -(-8) = 8