№630
1) числитель = Cosx + Ctgx = Cosx + Cosx/Sinx = CosxSinx + Cosx)/Sinx =
=Cosx(Sinx +1)/Sinx
знаменатель = 1 + Sinx
дробь сократим на (1 + Sinx)
Ответ: Cosx/Sinx = Ctgx
2) Приводим к общему знаменателю( Sinα(1 + Cosα))
числитель = Sin²α + 1 + 2Cosα + Cos²α = 2 + 2Cosα = 2(1 + Cosα)
знаменатель = Sinα(1 + Cosα)
Сократим на (1 + Cosα)
Ответ: 2/Sinα
3)(1 - Cos²3β)( 1 + Sin²3β/Cos²3β) = Sin²3β*(Cos²3β + Sin²3β)/Cos²3β=
=(Sin²3β)*1/Сos²3β = tg²3β
4) Общий знаменатель = (1 + Sin4x)(1 - Sin4x)
числитель = Сos4x - Sin4xCos4x - Cos4x -Sin4xCos4x= -2Sin4xCos4x
знаменатель = (1 + Sin4x)(1 - Sin4x) = 1 - Sin²4x = Cos²4x
дробь можно сократить на Cos4x
Ответ: -2tg4x
№631
1) числитель = 1 - 2SinxCosx = Sin²x + Cos²x - 2SinxCosx = (Sinx-Cosx)²
знаменатель = Sinx - Cosx
Ответ: Sinx - Cosx
2) Sin⁴β - Cos⁴β + Cos²β = (Sin²β - Cos²β)(Sin²β + Cos²β) + Cos²β=
=Sin²β - Cos²β + Cos²β = Sin²β
3)знаменатель = Ctg²2x + tg²2x = 1/tg²2x + tg²2x = (1+tg⁴2x)/tg²2x
дробь сократим на (1+tg⁴2x), при делении 2-я дробь перевернётся.
Ответ: tg²2x
4)Посмотрим на знаменатели:
а) 1 + tg²2β = 1 + Sin²2β/Cos²2β = (Cos²2β + Sin²2β) / Сos²2β = 1/Cos²2β
б) 1 + Ctg²2β = 1 + Cos²2β/Sin²2β = (Sin²2β + Cos²2β)/Sin²2β = 1/Sin²2β
теперь наш пример:
Сos⁴2β - Sin⁴2β = (Cos²2β - Sin²2β)(Cos²2β + Sin²2β) =Cos²2β - Sin²2β=
=Cos4β