Докажите, что если a,b и y-углы треугольника,то верно равенство

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

В треугольнике : α+β+γ=π ⇒ γ=π-α-β=π-(α+β)

tgα/2*tgβ/2+tgβ/2*tgγ/2+tgγ/2*tgα/2=

=tgα/2*tgβ/2+tgβ/2*tg(π/2-(α+β)/2)+tg(π/2-(α+β)/2)*tgα/2=

=[ tg(π/2-a)=ctga по формулам приведения]=

=tgα/2*tgβ/2+ctg(α+β)/2 * (tgβ/2+tgα/2) = [формула tga+tgb=sin(a+b)/cosacosb ] =

sinα/2 * sinβ/2 α+β sin(α+β)/2 sinα/2 * sinβ/2 cos(α+β)/2

=---------------------- + ctg ------- * --------------------- = ----------------------- + ---------------- *

cosα/2 * cosβ/2 2 cosβ/2 * cosα/2 cosα/2 * cosβ/2 sin(α+β)/2

sin(α+β)/2 1/2[cos(α-β)/2-cos(α+β)/2] + cos(α+β)/2 1/2(cos(α-β)/2+cos(α+β)/2)

* --------------------- =--------------------------------------------------------=-------------------------------------- =

cosα/2 *cosβ/2 cosα/2 * cosβ/2 cosα/2 * cosβ/2

1/2 * 2 * (cosα/2 * cosβ/2)

=------------------------------------ = 1

cosα/2 * cosβ/2

NNNLLL54_zn (834k баллов) 12 Март, 18

bearcab_zn · Answer 1 · 2018-03-12T02:41:05+0000

Так как сумма углов в треугольнике равна $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ , то вместо $\gamma$ запишем $\pi-\alpha-\beta$ .

Тогда

$\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}+\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2}\quad (*)$

Вычислим отдельно тангенс.

$\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\frac{\sin\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}$

Вычислим отдельно числитель и знаменатель

Числитель равен

$\sin\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\pi}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=$

$=1*\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-0*\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Знаменатель равен

$\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=$

$=0*\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+1*\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$

Значит

$\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}=\cot\frac{\alpha+\beta}{2}$

Подставим в исходную формулу (*)

$\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\cot\frac{\alpha+\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2}=$

$=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*(\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\alpha}{2})=$

$\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)=$

$=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}\right)=$

$=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}\right)=$

По формуле синуса суммы

sin(x+y)=sinx*cosy+sinycosx

преобразуем числитель в скобках

$=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=$

Снова распишем котангенс по определению

$=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}*\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=$