1)Путешественник поднимается в гору со скоростью 3 км\ч, а затем спускается обратно со скоростью 6 км\ч. Какова средняя скорость путешественника на всем пути.
2)Автомобиль проехал первую пути со скоростью 50 км\ч, а вторую – со скоростью 80 км\ч . Определите среднюю скорость его движения.
3)Треть пути человек ехал на велосипеде со скоростью 15 км\ч, а остаток пути со скоростью 5 км\ч. Какова его средняя скорость?
4)Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 12 км\ч. Средняя скорость на всем пути 8 км\ч . Чему равна его скорость на втором участке пути.
5)Тело движется из состояния покоя равноускоренно. Определите, во сколько раз путь, пройденный телом за восьмую секунду, больше пути, пройденного телом за третью секунду.
6)Свободно падающее тело прошло последние 30 метров за 0,5 секунд. Найти высоту падения.
7)Тело свободное падает без начальной скорости с высоты 80 метров. Каково его перемещение за последнюю секунду падения?
(Если можно то с рисунком)
1)
Пусть длина дороги «в гору» или «с горы» равна S.
Тогда путешественник поднимется вверх за время (S/3), а спустится за время (S/6).
Полное время в пути равно S/3+S/6=2S/6+S/6=3S/6=(S/2) – это полное время.
Всё расстояние, которое прошёл путешественник туда и обратно равно 2S – это полный путь.
Средняя скорость – это отношение полного пути к полному времени.
Итак, v(ср) = 2S/(S/2) = 4 км/ч.
2)
Пусть длина первой и второй половины пути равна S.
Тогда автомобиль тратит на первую половину пути (S/50) времени, а на вторую – (S/80) времени.
Полное время в пути равно S/50+S/80=8S/400+5S/400= (13S/400) – это полное время.
Всё расстояние, которое прошёл автомобиль на обеих половинах пути равно 2S – это полный путь.
Средняя скорость – это отношение полного пути к полному времени.
Итак, v(ср) = 2S/(13S/400) = 800/13 км/ч = 61 и 7/13 км/ч ≈ 61.5 км/ч.
3)
Пусть длина первой трети пути равна S, тогда длина остальных двух третей пути равна 2S.
Стало быть, велосипедист тратит на первую треть пути (S/15) времени, а на вторую – (2S/5) времени.
Полное время в пути равно S/15+2S/5=S/15+6S/15= (7S/15) – это полное время.
Всё расстояние, которое проехал велосипедист равно 3S – это полный путь.
Средняя скорость – это отношение полного пути к полному времени.
Итак, v(ср) = 3S/(7S/15) = 45/7 км/ч = 6 и 3/7 км/ч ≈ 6.5 км/ч.
4)
Пусть длина первой и второй половины пути равна S, а скорость на второй половине – равна x.
Тогда велосипедист тратит на первую половину пути (S/12) времени, а на вторую – (S/x) времени.
Полное время в пути равно S/12 + S/x = S ( 1/12 + 1/x ) – это полное время.
Всё расстояние, которое проехал велосипедист равно 2S – это полный путь.
Средняя скорость – это отношение полного пути к полному времени.
Итак, v(ср) = 2S/ [ S ( 1/12 + 1/x ) ] = 8 км/ч.
2 / ( 1/12 + 1/x ) = 8 ;
2/8 = 1/12 + 1/x ;
1/4 – 1/12 = 1/x ;
3/12 – 1/12 = 1/x ;
2/12 = 1/x ;
1/6 = 1/x ;
x = 6 км/ч.
5)
Способ I .
Известно, что пути, проходимые телом при равноускоренном движении из состояния покоя пропорциональны нечётным числам по порядку:
1-ое : 1 ;
2-ое : 3 ;
3-е : 5 ;
4-ое : 7 ;
5-ое : 9 ;
6-ое : 11 ;
7-ое : 13 ;
8-ое : 15 ;
Значит отношение путей, пройденных за восьмую и за третью секунды равно 15/5 = 3.
Способ II . (если свойство из способа I использовать нельзя / мы его не знаем и т.п.)
из состояния покоя S(t) = at²/2 ;
S(n) = an²/2 ;
S(n–1) = a(n–1)²/2 ;
ΔS(n) = S(n) – S(n–1) ;
ΔS(n) = an²/2 – a(n–1)²/2 ;
ΔS(n) = (a/2) ( n² – (n–1)² ) ;
ΔS(n) = (a/2) ( n – (n–1) ) ( n + (n–1) ) ;
ΔS(n) = (a/2) ( 2n – 1 ) ;
ΔS(3) = 5 (a/2) ;
ΔS(8) = 15 (a/2) ;
ΔS(8)/ΔS(3) = [ 15 (a/2) ] / [ 5 (a/2) ] = 3 ;
6)
v(1) – скорость на входе в финальный участок:
( v(1) + v(к) )/2 = h/t ;
v(1) + v(к) = 2h/t ;
v(к) – v(1) = gt ;
вычитанием получаем:
2v(1) = 2h/t – gt ;
v(1) = h/t – gt/2 ;
время до входа в финальный участок t(1) :
v(1) = gt(1) ;
t(1) = v(1)/g = h/(gt) – t/2 ;
путь до входа на финальный участок h(1) :
h(1) = gt(1)²/2 = (g/2) ( h/(gt) – t/2 )² ;
полный путь H = h(1) + h :
H = (g/2) ( h/(gt) – t/2 )² + h = h²/(2gt²) – h/2 + gt²/8 + h = h²/(2gt²) + h/2 + gt²/8 ;
H = ( h/gt + t/2 )² g/2 = ( 30/4.9 + 0.25 )² 4.9 ≈ 199 м.
7)
время всего падения t:
H = gt²/2 ;
t = √(2H/g) ;
время падения до последней секунды, равно:
t(1) = t–т , где т = 1 сек.
расстояние падение до последней секунды равно:
h(1) = gt(1)²/2 = g(t–т)²/2 = g( √(2H/g) – т )²/2 ;
перемещение за последнюю секунду h = H – h(1) :
h = H – g( √(2H/g) – т )²/2 = H – ( H – т√(2Hg) + gт²/2 ) = т√(2Hg) – gт²/2 ;
h = т(√(2Hg) – gт/2) = √(2 * 80 * 9.8 ) – 4.9 =
= √(32 * 49) – 4.9 = 28√2 – 4.9 ≈ 35 м.