Ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0
Если у данного уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то их сумма и произведение - тоже натуральные числа. тогда по теореме Виета:
x_{1} *x_{2} = \frac{3a-5}{a} \\
\frac{3a-5}{a} = n_{1} , где n1 - нат. число. Тогда
3a-5 = n_{1}*a \\
Правая часть данного равенства делится на a, значит и левая должна тоже делиться на a. Слева имеем сумму двух слагаемых, чтобы это сумма делилась на a, надо чтобы оба слагаемых делились на a.
3a делится на а, и 5 должно делиться на а. Т.о. а∈{ -5, -1, 1, 5}.
Подставляем поочередно эти значения а в выражение \frac{3a-5}{a} .
a=-5, \frac{3*(-5)-5}{-5}= \frac{-20}{-5}= 4 \\
a=-1, \frac{3*(-1)-5}{-1}= \frac{-8}{-1}= 8 \\
a=1, \frac{3*1-5}{1}= \frac{-2}{1}= -2 \\
a=5, \frac{3*5-5}{5}= \frac{10}{5}= 2 \\
Т.о. натуральное значение выражение принимает при а=-5, а=-1 и а=5.
По т.Виета x_{1} + x_{2} = \frac{a^2+5}{a} \\
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет натуральным числом:
a=-5; \frac{(-5)^2+5}{-5} = \frac{30}{-5} = -6 \\
a=-1; \frac{(-1)^2+5}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \\
a=5; \frac{5^2+5}{5} = \frac{30}{5} = 6 \\
Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при a=5. Проверим будут ли этом значении а корни исходного уравнения натуральными числами.
При a=5. уравнение примет вид:
5 x^{2} - 30x +10 =0 \\
x^{2} - 6x +2 =0 \\
D = 28
значит корни будут иррациональными.
Ответ: ∅.