Задания 1) и 2) решаются на основе учебника.
3) Примем длину ребра куба за 1.
Поместим заданный куб в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром АВ по оси ОХ, ВС по оси ОУ.
Определим координаты необходимых точек.
Координаты точки А аx аy аz
1 0 0,
Координаты точки В1 в1x в1y в1z
0 0 1,
Координаты точки А1 а1x а1y а1z
1 0 1.
Координаты точки Д дx дy дz
1 0 1.
Определяем координаты векторов:
Вектор АВ1 (-1; 0; 1), Вектор ДА1 (0; -1; 1).
Косинус угла между векторами АВ1 и ДА1 равен:
((-1)*0+0*(-1)+1*1)/(√((-1)²+0²+1²)*√0²+(-1)²+1²)) = 1/(√2*√2) = 1/2.
Угол равен arc cos (1/2) = 60°.
4) Доказательство, что четырёхугольник АВСД квадрат, обоснуем диагоналями АС и ВД из условий, что угол между ними 90° и их середины совпадают.
Координаты необходимых точек.
Координаты точки А аx аy аz
0 1 2,
Координаты точки В вx вy вz
√2 1 2,
Координаты точки С сx сy сz
√2 2 1,
Координаты точки Д дx дy дz
1 0 1.
Определяем координаты векторов:
Вектор АС (√2; 1; -1), Вектор ВД (-√2; 1; -1).
Косинус угла между векторами АВ1 и ДА1 равен:
(√2*(-√2)+1*1+(-1)*(-1))/(√((√2)²+1²+(-1)²)*√(-√2)²+1²+(-1)²)) =
=( -2+1+1)/(√4*√4) = 0/4 = 0.
Угол равен arc cos 0 = 90°.
Находим координаты точки О как середину отрезка АС:
О((0+√2)/2=√2/2; (1+2)/2=1,5; (2+1)/2=1,5).
Находим координаты точки О как середину отрезка ВД:
О((√2+0)/2=√2/2; (1+2)/2=1,5; (2+1)/2=1,5).
Координаты совпадают и угол между диагоналями равен 90° - доказано.