из точки ** основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. они...

0 голосов
68 просмотров

из точки на основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. они разбивают треугольник на параллелограм и два треугольника с площадями S₁=16 и S₂.=25 найдите площадь параллелограмма. помогите пожалуйста,сегодня сдавать)

Геометрия (30 баллов) | 68 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

 

Дано: \Delta ABC,\, KM||BC,\, ML||AB, \,S_{\Delta AMK}=16,\, S_{\Delta MLC}=25.

 

Найти: S_{KMLB}

 

Решение: Заметим, что S_{\Delta AMK}\sim S_{\Delta ABC} по двум  углам. Один угол общий, \angle AKM=\angle BAC - как односторонние углы при параллельных прямых КМ и ВС и секущей ВК.

 

Также S_{\Delta MLC}\sim S_{\Delta ABC} по двум  углам. Один угол общий, \angle CLM=\angle CBA - как односторонние углы при параллельных прямых LМ и AВ и секущей ВC.

 

Значит, по свойствам подобия треугольников

\Delta MLC\sim\Delta AKM.

 

Вычислим коэффициент подобия этих треугольников

 

k=\sqrt{\frac{S_{\Delta AKM}}{S_{\Delta MLC}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}

 

Заметим также, что

 

\angle AKM=\angle MLC=\angle ABC - по свойству параллельных прямых.

 

По свойству параллелограмма ML=KB. По свойству подобия треугольников

 

\frac{AK}{ML}=\frac{4}{5}

Пусть АК=4х, тогда КВ=ML=5x. AK+KB=AB=4x+5x=9x.

 

Значит \frac{AK}{AB}=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9} - это коэффициент подобия треугольников AKM и AВС. Вычислим площадь теугольника АВС.

 

S_{\Delta ABC}=(\frac{AB}{AK})^2*S_{\Delta AKM}=(\frac{9}{4})^2*16=81

 

По своствам площадей

 

S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AKM}+S_{\Delta MLC}+S_{KMLB}

 

Подставим известные значения

 

81=16+25+S_{KMLB}

 

81-16-25=S_{KMLB}

 

S_{KMLB}=40

 

Ответ: S_{KMLB}=40

image
(114k баллов)
Похожие задачи