![\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{lnx}{x}dx=\lim\limits _{A\to +\infty }\int \limits _{1}^{A}\frac{lnx}{x}dx=\lim\limits _{A\to +\infty }\left (\frac{ln^2x}{2}|_1^{A}\right )=\\\\=\lim\limits _{A\to +\infty }\left (\frac{ln^2A}{2}-\frac{ln1}{2}\right )=[\, +\infty -0]=+\infty \; \; \Rightarrow \; \; rasxoditsya](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint+%5Climits+_%7B1%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7Blnx%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Clim%5Climits+_%7BA%5Cto+%2B%5Cinfty+%7D%5Cint+%5Climits+_%7B1%7D%5E%7BA%7D%5Cfrac%7Blnx%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Clim%5Climits+_%7BA%5Cto+%2B%5Cinfty+%7D%5Cleft+%28%5Cfrac%7Bln%5E2x%7D%7B2%7D%7C_1%5E%7BA%7D%5Cright+%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Clim%5Climits+_%7BA%5Cto+%2B%5Cinfty+%7D%5Cleft+%28%5Cfrac%7Bln%5E2A%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bln1%7D%7B2%7D%5Cright+%29%3D%5B%5C%2C+%2B%5Cinfty+-0%5D%3D%2B%5Cinfty+%5C%3B+%5C%3B+%5CRightarrow+%5C%3B+%5C%3B+rasxoditsya "\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{lnx}{x}dx=\lim\limits _{A\to +\infty }\int \limits _{1}^{A}\frac{lnx}{x}dx=\lim\limits _{A\to +\infty }\left (\frac{ln^2x}{2}|_1^{A}\right )=\\\\=\lim\limits _{A\to +\infty }\left (\frac{ln^2A}{2}-\frac{ln1}{2}\right )=[\, +\infty -0]=+\infty \; \; \Rightarrow \; \; rasxoditsya")
\frac{ln4}{4}>\frac{ln5}{5}>...> \frac{ln(n)}{n}>... \\\\b)\; \; \lim\limits _{n\to \infty }\frac{ln(n)}{n}= \lim\limits_{n\to \infty } \frac{1/n}{1}=0" alt="2)Priznak\; Lejbnica:\\\\a)\; \; \frac{ln1}{1} < \frac{ln2}{2} < \frac{\ln3}{3} >\frac{ln4}{4}>\frac{ln5}{5}>...> \frac{ln(n)}{n}>... \\\\b)\; \; \lim\limits _{n\to \infty }\frac{ln(n)}{n}= \lim\limits_{n\to \infty } \frac{1/n}{1}=0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Так как ряд из абсолютных величин (модулей) расходится, то нет абсолютной сходимости. Но выполняются условия признака Лейбница. Поэтому заданный знакочередующийся ряд сходится условно.