Найдите производную функции в любой точке x ее области определения. y=x/(x^2+1)

Дано: $y(x)=\frac{x}{x^2+1}$

Найти: $y'(x_0)$ , $x_0\in D(y)$

$y'(x)=(\frac{x}{x^2+1})'=y'=(x*(x^2+1)^{-1})'=$

$=(x)'*(x^2+1)^{-1}+x*(x^2+1)^{-1})'=$

$=1*(x^2+1)^{-1}+x*(-1)*(x^2+1)^{-2}*(x^2+1)'=$

$=\frac{1}{x^2+1}-\frac{x}{(x^2+1)^{2}}*[(x^2)'+(1)']=$

$=\frac{1}{x^2+1}-\frac{x}{(x^2+1)^{2}}*[2x+0]=\frac{1}{x^2+1}-\frac{2x^2}{(x^2+1)^{2}}= \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} =-\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$

Выбираем точку $x_0=0$
$y'(0)=-\frac{0^2-1}{(0^2+1)^2}= -\frac{-1}{1} =1$