*) вот чем мне решения Гоши68 нравятся - все в них правильно, но я полчаса потратил на выведение этой формулы. Интересно, сколько времени понадобится школьнику :) (я думаю, больше, чем полчаса, даже если он знает, как это делается, и бесконечное время, если не знает).
Треугольник АВС, a = 12, b = 15, c = 18; больший угол конечно - С (напротив стороны с).
Если L - биссектриса угла С, то она делит треугольник на два, площади которых
S1 = (1/2)*a*L*sin(C/2); S2 = (1/2)*b*L*sin(C/2);
Общая площадь S = S1 + S2 = S1 = (1/2)*a*b*sin(C);
откуда
(a + b)*L*sin(C/2) = a*b*sin(C) = 2*a*b*sin(C/2)*cos(C/2);
L = 2*a*b*cos(C/2)/(a + b); (это одна из известных формул длины биссектрисы, я привел её вывод).
С другой стороны, если обозначить cos(C) = х, то из теоремы косинусов
a^2 + b^2 - 2*a*b*x = c^2;
x = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);
Если подставить значения a = 12, b = 15, c = 18; то x = 1/8;
Из тригонометрической формулы 2*(cos(C/2))^2 - 1 = cos(C);
теперь легко найти косинус половинного угла по значению косинуса всего угла С
cos(C/2) = 3/4;
откуда
L = 2*12*15*3/(4*(12 + 15)) = 10;
Еще один способ решения, самый очевидный, основан на формуле L^2 = a*b - z*y; где z и y - отрезки, на которые биссектриса делит сторону с.
То есть
z + y = c;
z/y = a/b;
откуда z = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b);
Если подставить значения a = 12, b = 15, c = 18; то z = 18*12/27 = 8; y = 10;
L^2 = 12*15 - 8*10 = 100;
L = 10;
само собой, формулу L^2 = a*b - z*y; надо уметь выводить, что тоже совсем не просто :)
Я не смог удержаться, и решил привести полное доказательство формулы, которую Гоша68 использовал :) Ну просто вот не могу отказать себе...
Из теоремы косинусов
cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);
откуда
1 + cos(C) = ((a + b)^2 - c^2)/(2*a*b) = 2*p*(p - c)/(a*b); где p = (a + b + c)/2;
отсюда cos(C/2) = √(p*(p - c)/a*b); осталось подставить это в доказанное ранее выражение L = 2*a*b*cos(C/2)/(a + b); и получится Гошина формула.
Что-то это мне напоминает :)
Чего то я завелся :) А как выводится формула L^2 = a*b - z*y; Это очень простая теорема, но очень красиво доказывается, не могу себе отказать :)
Пусть треугольник АВС, СК - биссектриса, и пусть М - это точка пересечения биссектрисы СК с описанной вокруг АВС окружностью. Тогда угол СВА равен углу СМА - они опираются на одну дугу АС, а углы АСМ и МСВ тоже равны, потому что СМ - биссектриса угла С (в этом вся соль!). Поэтому треугольники АМС и ВКС подобны, то есть
СМ/CA = CD/CK; или (CK + KM)*CK = CA*CB; откуда
CK^2 = CA*CB - C*K*KM;
Но CK*KM = AK*KB; (ну, уж это то вы знаете... хотя это автоматически следует из подобия треугольников АКМ и СКВ...)
откуда CK^2 = CA*CB - KA*KB; чтд.
Ну вот, поскольку я полностью исчерпал тему, любой модератор может смело это удалить, как нарушение (ну в самом деле, нет чертежа, много лишнего текста, полно выходящих за рамки школьной программы формул, в некоторых местах - откровенный флуд..) Удаляйте смело, а я погляжу, кто это сделает :)