1) В уравнении х²-6х+у²+10у+18 = 0 надо выделить полные квадраты:
(х²-6х+9)² + (у²+10у+25)-16 = 0.
Это и есть уравнение ркружности:
(х-3)² + (у+5)² = 4².
Для проверки, вписан ли треугольник с заданными координатами вершин в эту окружность, надо подставить координаты в полученное уравнение:
х у
(7
- 3)² + (-5 +
5)² = 16,
(3
- 3)² + (-1 + 5)² = 16,
(-1 - 3)² + (-5 + 5)² = 16.
Уравнения верны - треугольник вписан.
2) Условно обозначим вершины треугольника точками S=A, P=B, Q=C.
Находим площадь треугольника по координатам его вершин:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =
12.
Длины сторон равны:
АВ =
√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =
√25 = 5,
BC =
√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²)
=
√25 = 5,
AC =
√((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²)
=
√64 = 8.
Полупериметр р треугольника равен: р = (5+5+8)/2 = 9.
По формуле r = S/p = 12/9 = 4/3 ≈ 1,33333.
Теперь определяем координаты центра окружности:
Координата Х по формуле: Х = (|ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс|) /
р = 2,
координата У по формуле: У = (|ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус| / р = (7/3) ≈ 2,33333.
Теперь можно составить уравнение окружности, вписанной в треугольник SPQ: (x-2)²+(y-(7/3))² = (4/3)².