Задача ** геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из...

0 голосов
51 просмотров

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Алгебра (31 баллов) | 51 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле \frac{\sqrt3}2a. То есть, сторона каждого последующего треугольника - это сторона предыдущего, умноженная на постоянный множитель \frac{\sqrt3}2. То есть сторона n-го треугольника будет равна a\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}. Периметр же n-го треугольника равен \left.3a\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}\right..

Имеем геометрическую прогрессию относительно периметров: первый её член равен 8*3=24, знаменатель прогрессии - \left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}.

Периметр шестого треугольника:

\\b_6=b_1\cdot q^{n-1}=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^6=24\cdot\frac{81}{64}=\frac{3\cdot81}{8}=\frac{243}8 см.

(317k баллов)
Похожие задачи