Решите уравнение. Пожалуйста помогите.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$||2x-1|-5|+x=|6-x|$

Найдем нули подмодульных выражений:

$|2x-1|-5=0 \\\ |2x-1|=5 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} 2x-1=5 \\ 2x-1=-5 \end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} 2x=6 \\ 2x=-4 \end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=3 \\ x=-2 \end{array}$
При $x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$ модуль раскрывается со знаком плюс, при $x\in(-2;3)$ - со знаком минус.

$6-x=0 \\\ x=6$
При $x\in(-\infty;6]$ модуль раскрывается со знаком плюс, при $x\in(6;+\infty)$ - со знаком минус.

Тогда:
при $x\in(-\infty;-2]\cup[3;6]$ - оба модуля раскрываем со знаком плюс
при $x\in(-2;3)$ - первый модуль - со знаком минус, второй - со знаком плюс
при $x\in(6;+\infty)$ - первый модуль - со знаком плюс, второй - со знаком минус

Получаем совокупность:
$\left[\begin{array}{l} |2x-1|-5+x=6-x,\ x\in(-\infty;2]\cup[3;6] \\ -(|2x-1|-5)+x=6-x, \ x\in(-2;3) \\ |2x-1|-5+x=-(6-x), \ x\in(6;+\infty)\end{array}$
$\left[\begin{array}{l} |2x-1|-5+x=6-x,\ x\in(-\infty;2]\cup[3;6] \\ -|2x-1|+5+x=6-x, \ x\in(-2;3) \\ |2x-1|-5+x=-6+x, \ x\in(6;+\infty)\end{array}$
$\left[\begin{array}{l} |2x-1|=11-2x,\ x\in(-\infty;2]\cup[3;6] \\ |2x-1|=2x-1, \ x\in(-2;3) \\ |2x-1|=-1, \ x\in(6;+\infty)\end{array}$

Рассмотри каждую строку:
Уравнение в третьей строке не имеет решений, так как модуль любого числа неотрицателен

Уравнение во второй строке справедливо для всех x, при которых подмодульное выражение неотрицательно, то есть при $x \geq \frac{1}{2}$ . Учитывая условие, при котором был раскрыт модуль, получим, что полуинтервал $[ \frac{1}{2} ;3)$ - решение уравнения во второй строке

Решим уравнение в первой строке:
$|2x-1|=11-2x$
$\left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 2x-1=11-2x\\ 2x-1=-(11-2x) \end{array} \\ 11-2x \geq 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 4x=12\\ 2x-1=2x-11 \end{array} \\ 2x \leq 11 \end{array}$
Второе уравнение решений не имеет:
$\left\{\begin{array}{l} x=3 \\ x \leq 5.5 \end{array}$
x=3 - единственный корень уравнения в первой строке

Тогда, исходное уравнение имеет решения $x\in[ \frac{1}{2} ;3)$ и $x=3$ или, объединяя, получим $x\in[ \frac{1}{2} ;3]$

Ответ: $[ \frac{1}{2} ;3]$

Artem112_zn (271k баллов) 03 Май, 18