Из точки А, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Во сколько раз...

Question

Из точки А, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки А до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга

Answer 1

Пусть АВ-касательная, АД-секущая, В - точка касания, С и Д -точки пересечения секущей с окружностью.

Надо выяснить величину отношения ДС/АС.

 

Как известно, есть формула АВ²=АС·АД, т.е. АВ·АВ=АС·АД.

По свойству пропорции получим равенство:

AD=3AB=9AC \\\\ \frac{DC}{AC}=\frac{AD-AC}{AC}=\frac{9AC-AC}{AC}=\frac{8AC}{AC}=8" alt="\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{3AC}=\frac{1}{3} =>AD=3AB=9AC \\\\ \frac{DC}{AC}=\frac{AD-AC}{AC}=\frac{9AC-AC}{AC}=\frac{8AC}{AC}=8" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Таким образом, в 8 раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга.

Answer 2

Обозначим   длину  АM отрезка касательной,  а отрезки секущей вне и внутри ,  как АО и АО1     соотвественно  , по    условия    АО*3  = АМ.    по теореме о секщуей 

AM^2=AO*AO1

9AO^2=AO*AO1

9AO=AO1

OO1=AO1-AO

 OO1=8AO

 то есть 

 8AO/AO= 8 раз