Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции...

Question

Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции
lim(x->0)(tgx-sinx)/x(1-cos2x)

Answer 1

Tgx-sinx=sinx·(1/cosx)-1)=sinx·(1-cosx)/cosx
1-cosx=2sin²(x/2)
sinx~x при х→0
2sin²(x/2)~2·(x/2)·(x/2)=x²/2 при  х→0
1-cos2x=2sin²x~2x²при  х→0
lim(x→0)(tgx-sinx)/x(1-cos2x) =lim(x→0)(x·(х²/2))/(x·2х²)=1/4
О т в е т. 1/4