Логарифмическое неравенство Заранее огромное спасибо за помощь!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найдем область определения дроби в левой части. Знаменатель определен при $x\neq 0$ , числитель определен, если
0 \\ 3\cdot 2^{x-1}> 1 \\ 2^{x-1} > \frac{1}{3} \\ x-1 > log_2(\frac{1}{3}) \\ x > log_2(\frac{1}{3})+1" alt="3\cdot 2^{x-1}-1> 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}> 1 \\ 2^{x-1} > \frac{1}{3} \\ x-1 > log_2(\frac{1}{3}) \\ x > log_2(\frac{1}{3})+1" align="absmiddle" class="latex-formula">
Заметим, что $log_2(\frac{1}{3})+1=-log_2(3)+1<0$
Таким образом, область определения дроби
$(log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup(0;+\infty)$

Найдем значения аргумента, при которых числитель неотрицателен:
$log_2(3\cdot 2^{x-1}-1)\geq 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}-1\geq 1 \\ 3\cdot 2^{x-1}\geq 2 \\ 2^{x-1} \geq \frac{2}{3} \\ x-1 \geq log_2(\frac{2}{3}) \\ x \geq log_2(\frac{2}{3})+1$
0." alt="log_2(\frac{2}{3})+1=log_2(2)-log_2(3)+1=2-log_2(3)>0." align="absmiddle" class="latex-formula">

Таким образом, на интервале $(log_2(\frac{1}{3})+1;0)$ и числитель и знаменатель принимают отрицательные значения, поэтому дробь принимает положительные значения и все точки этого интервала нам подойдут.

На интервале $(0;log_2(\frac{2}{3})+1))$ числитель принимает отрицательные значения, а знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает отрицательные значения.

На луче $[log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty)$ числитель принимает неотрицательные значения, знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает неотрицательные значения и все точки этого луча нам подойдут.

Ответ: $(log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup[log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty).$

dmital_zn (47.5k баллов) 03 Май, 18