** сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены квадраты, лежащие вне...

Question

На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.

Answer 1

эту задачу можно решить думаю по разному, но вот мое решение.

Давайте впишем наш прямоугольный треугольник , в координатнус плоксоть ОХУ, так чтобы   стороны квадратов были сторонами осей координат. Будем строить наш треугольник  только линейкой ,   для того чтобы подчеты был верны 

Пусть наш треугольник А1В1С1 , а центры квадратов  А, В, С,  то есть у нас в задаче надо найти площадь этого треугольника! 

 

Теперь как вписали наш треугольник , и квадраты ,   осталось найти центры каждого треугольника они будут  находиться в точке персечение  диагоналей квадрата,  найти ее можно  поделив диагональ пополам то есть , центр допустим первого квадрата  будет 

d=√2*6^2=6√2 -  это по по теореме  пифагора , теперь   центр это половина то есть поделим на 2  получим 3√2 ,  но это не так важно , так как мы будет  просто  вставлять точки , то есть если мы нарисуем ЛИНЕЙКОЙ , то в легко увидеть  координыта каждой точки А,В,С 

B(4;10)         C(11;3)    A(15;13)  ПОВТОРЯЮ ЭТО ВСЕ ВИДНО ЕСЛИ НАРИСОВАТЬ, ВСЕ ЛИНЕЙКОЙ, теперь  можно найти  длину каждой стороны ,   зная    координаты каджой точки

По формуле АВ=√(x-x0)^2+(y-y0)^2  где  х;x0    точки А и В  итд

И так  

BC=√(11-4)^2+(3-10)^2=7√2

AC=√(11-15)^2+(13-3)^2 = 2√29

AB=√(15-4)^2+(13-10)^2=√130

 

теперь по формуле герона можно найти или же просто найти угол между сторонами по теореме косинусов, затем формулой S=a*b*sina/2 , где а и в строны ,    и угол между ними 

 

c^2=a^2+b^2-2ab*cosa

cosa=c^2-a^2-b^2/-2ab

теореме косинусов 

 

cosa= 116-130-98/-2√12740   = 56/√12740 

sina=98/√12740

Формула такая sina=√1-cos^2a 

 

теперь ставим  в  формулу  S =ab*sina/2

S=√12740*98/√12740 /2  = 49 Ответ  49 см  ^2

 

 

Answer 2

1. Я продолжаю катеты за вершины острых углов - катет a  на величину второго катета b, и наоборот. Если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a + b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a + b). 

2. Вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы Пифагора).

3. Если повернуть построенный квадрат (со стороной (a + b) ) на 90° вокруг его центра, то он перейдет "сам в себя". При этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. Поэтому центры этих квадратов совпадают. 

4. Таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a + b) и образует с катетами углы в 45°. Его величина равна p = (a + b)√2/2;

5. Отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q = (a + b)√2/2 и тоже образует с катетами углы 45°. Поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в задаче треугольнике (при этом q - основание).

Окончательно S = p*q/2 = (a + b)^2/4 = (6 + 8)^2/4 = 49