найдите область определения функции f(x)=√log по основанию 3 от (2x+6) - log по основанию...

Question

найдите область определения функции f(x)=√log по основанию 3 от (2x+6) - log по основанию 3 от (4x-4).

1.(1;5] 2.(-3;5] 3.(-3;1) 4.(-∞;5] 5.(-∞;-3)

Решение как можно подробнее

Answer 1

Я понимаю так. Функция вида

 

 

Во-первых, выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Это касается обоих логарифмов. Во-вторых, подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Запишем это в виде системы

 

0,\\4x-4>0,\\ \log_3(2x+6)-\log_3(4x-4)\geqslant0. \end{cases}" alt="\begin{cases} 2x+6>0,\\4x-4>0,\\ \log_3(2x+6)-\log_3(4x-4)\geqslant0. \end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

В первом и втором неравенствах перенесем свободные члены вправо. В третьем неравенстве второй логарифм перенесем вправо

 

-6,\\4x>4,\\ \log_3(2x+6)\geqslant\log_3(4x-4). \end{cases}" alt="\begin{cases} 2x>-6,\\4x>4,\\ \log_3(2x+6)\geqslant\log_3(4x-4). \end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Первое неравенство делим на 2, второе неравенство делим на 4. Третье неравенство потенцируем (избавляемся от логарифма, получаем выражение под логарифмом) с сохранением знака, так как основание логарифма 3>1.

 

-3,\\x>1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}" alt="\begin{cases} x>-3,\\x>1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

 

Первое неравенство можно убрать, так как второе неравенство требует от переменной х более строгого условия, а именно х>1. Записываем более простую систему неравенств

1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}" alt="\begin{cases}x>1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Теперь во втором неравенстве переносим неизвестные члены вправо,а свободные члены влево.

1,\\ 6+4\geqslant 4x-2x.\end{cases}" alt="\begin{cases}x>1,\\ 6+4\geqslant 4x-2x.\end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Упрощаем второе неравенство  системы, приведя подобные

 

1,\\ 10\geqslant 2x.\end{cases}" alt="\begin{cases}x>1,\\ 10\geqslant 2x.\end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Делим на 2 второе неравенство системы

 

1,\\ 5\geqslant x.\end{cases}" alt="\begin{cases}x>1,\\ 5\geqslant x.\end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

Или

1,\\ x\leqslant 5 \end{cases}." alt="\begin{cases}x>1,\\ x\leqslant 5 \end{cases}." align="absmiddle" class="latex-formula">

 

То есть

 

Ответ: 1-й вариант,