1. На лугу поставили одиннадцать рядов столбиков по одиннадцать штук в
каждом так, что получился квадрат. Расстояние между соседними столбиками –
1 метр. На столбики натянули сетку так, что получилось 50 загонов размера
2×1 метр. На каждом столбике написали, сколько загонов к нему примыкает.
Чему может равняться сумма написанных на столбиках чисел?
************************************************************
2. В турнире по теннису приняло участие десять теннисистов, которым выдали
номера от 1 до 10. В турнире было проведено 38 игр, причѐм никакие пары
игроков не играли дважды. Могло ли случиться так, что ни в одной игре не
встречались теннисисты, номера которых отличаются на 2?
************************************************************
3. Гоша утверждает, что существует 700 различных трѐхзначных чисел, из
которых путѐм приписывания справа одной цифры можно получить
четырѐхкратное число, кратное 13. Прав ли он?
************************************************************
4. Найдите наибольшее чѐтное натуральное число, все цифры которого
различны и любые две соседних отличаются по крайней мере на два.
************************************************************
5. Учительница рассадила за круглым столом своих учеников, причѐм
мальчиков оказалось в три раза больше девочек. Также получилось, что среди
сидящих рядом учеников одного пола оказалось в два раза больше, чем таких
пар разного пола. Какое наименьшее число учеников могло быть в классе?
************************************************************6 класс
************************************************************
6. Можно ли на доске 7х7 расставить 25 нулей и 24 единицы так, чтобы для
любой клетки доски, на которой стоит единица, с ней соседствовала ровно одна
клетка с единицей, а для любой клетки с нулѐм – соседствовала не одна клетка
с единицей? Соседями считаются клетки, имеющие общую сторону.
************************************************************
7. В классе 28 учеников, которые сидят по двое за партами. Каждый день
учитель пересаживает учеников так, чтобы все образовавшиеся пары были
новыми (раньше рядом не сидели). Может ли он делать это в течение 27 дней?
************************************************************
8. По кругу стоят мальчики и 10 девочек. Справа от каждой девочки – мальчик,
справа от каждого из двух третей мальчиков – мальчик, справа от каждого из
остальных мальчиков – девочка. Какое наибольшее число мальчиков может
стоять подряд в хороводе?
************************************************************
9. Гоша и Серѐжа по очереди (Гоша начинает первым) записывают в клетки
таблицы 5х5 натуральные числа от 1 до 25. Гоша хочет, чтобы сумма всех
чисел в какой-нибудь строке или столбце, или по диагонали этой таблицы
оказалась равной 43. Сможет ли Серѐжа помешать Гоше в достижении цели?
************************************************************
10. На острове живут три племени аборигенов: рыцари, которые всегда говорят
правду, лжецы, которые всегда лгут, и конформисты, которые могут лгать,
только если их соседом является лжец (но могут сказать и правду). Девять
представителей всех трѐх племѐн встали в клетки квадрата 3х3. Каждый сказал:
«Среди моих соседей есть представители всех трѐх племѐн». Какое наименьшее
число лжецов может быть среди них? (Соседями считаются аборигены,
стоящие в клетках квадрата, имеющих общую сторону)
************************************************************