Вычислите пожалуйста (1-i)^8

$z=1-i=1+(-1)*i$ , $z^8-?$

Ход решения: 1) переходим в тригонометрическую форму
2) используем формулу Муавра

запишем наше комплексное число в тригонометрическом виде:

$|z|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$arg(z)=arg(1-i)=arctg(\frac{-1}{1})=arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$

тогда: $z=|z|*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=$

$=\sqrt{2}*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4})) =\sqrt{2}*(\frac{\sqrt{2}}{2}+i*(-\frac{\sqrt{2}}{2}))=$

$=1+i*(-1)=1-i$

была сделана проверка, а теперь:
$z^8=[\sqrt{2}*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4}))]^8=2^4*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4}))$

$=2^4*(cos(-8*\frac{\pi}{4})+i*sin(-8*\frac{\pi}{4}))=$

$=2^4*(cos(-2\pi})+i*sin(-2\pi))=2^4*(1-i*0)=2^4$