Помогите найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\left \{ {{\frac{dx}{dt}=7x+3y} \atop {\frac{dy}{dt}=x+5y}} \right.$

составим матрицу:
$A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 5 \\ \end{pmatrix}$

характеристическая матрица:

$A-E\lambda=\begin{pmatrix} 7-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \\ \end{pmatrix}$

характеристическое уравнение:
$|A-E\lambda|=0$

$(7-\lambda)*(5-\lambda)-3*1=0$

$\lambda^2-12\lambda+32=0$

$\lambda^2-4\lambda-8\lambda+32=0$

$\lambda(\lambda-4)-8(\lambda-4)=0$

$(\lambda-8)(\lambda-4)=0$

$\lambda_1=8;\lambda_2=4$ - вещественные однократные корни

найдем собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=8$ :

$(A-E\lambda_1)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0$

$\left \{ {{(7-\lambda_1)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_1)b_2=0}} \right.; \left \{ {{-b_1+3b_2=0} \atop {b_1-3b_2=0}} \right.$

вторая строка есть следствие первой, по этому:
$b_1-3b_2=0$
положим $b_2=1$ , тогда $b_1=3$

$\overline{B}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

таким образом $\lambda_1=8$ соответствует частное решение:
$\overline{X_1}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_1t}\overline{B}=e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

найдем собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=4$ :

$(A-E\lambda_2)\overline{B}=\begin{pmatrix} 7-\lambda_2 & 3 \\ 1 & 5-\lambda_2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \end{pmatrix}=0$

$\left \{ {{(7-\lambda_2)b_1+3b_2=0} \atop {b_1+(5-\lambda_2)b_2=0}} \right.; \left \{ {{3b_1+3b_2=0} \atop {b_1+b_2=0}} \right.$

вторая строка есть следствие первой, по этому:
$b_1+b_2=0$
положим $b_2=1$ , тогда $b_1=-1$

$\overline{B}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

таким образом $\lambda_1=4$ соответствует частное решение:
$\overline{X_2}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=e^{\lambda_2t}\overline{B}=e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

два частных решения $\overline{X_1}$ и $\overline{X_2}$ линейнонезависимы, общее решение системы дифф. ур. имеет вид:

$\overline{X}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix}=C_1\overline{X_1}+C_2\overline{X_2}=C_1e^{8t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ \end{pmatrix}+C_2e^{4t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

или: $\left \{ {{x(t)=3C_1e^{8t}-C_2e^{4t}} \atop {y(t)=C_1e^{8t}+C_2e^{4t}}} \right.$

90misha90_zn (30.4k баллов) 03 Май, 18