Задача 1.
Дано:
CO = OD, ∠C = ∠D = 90°.
Доказать: O - середина AB.
Доказательство:
1. Рассмотрим ΔAOC и ΔDOB: CO = OD (по условию), треугольники прямоугольныe, т.к. ∠C = ∠D = 90° (по условию), ∠COA = ∠DOB, т.к они вертикальные. Тогда треугольники равны, ведь (два варианта: 1) треугольники прямоугольные, сторона и прилежащий острый угол равны, 2) по стороне и двум прилежащим углам).
2. Т.к. треугольники равны, соответственные стороны тоже равны. Тогда AO = OB ⇒ O - середина AB, ведь поделил пополам.
Ч. Т. Д.
Задача 2.
Дано:
AB = BC, AK = KC, ∠AKE = ∠PKC.
Доказать: ΔAKE = ΔCKP.
Доказательство:
1. Так как AB = BC (по условию), то ΔABC - равнобедренный и углы при основании равны ⇒ ∠BAC = ∠BCA, т.к. ∠BAC = ∠BCA, ∠AKE = ∠PKC и AK = KC, то ΔAKE = ΔCKP по стороне и двум прилежащим углам.
Ч. Т. Д.
Задача 3.
Дано:
AC - основание, ΔABC и ΔAMC - равнобедренные.
Доказать: AM = MC.
Доказательство:
Т.к. ΔABC равнобедренный, то и ∠BAC = ∠BCA, как углы при основании. ∠BAC = ∠BCA, BA = BC, как стороны равнобедренного треугольника, а сторона BM - общая, тогда ΔABM = ΔBMC по двум сторонам и углу между ними ⇒ соответственные стороны равны ⇒ AM = MC и BM пересекает сторону AC в середине.
Ч. Т. Д.
P. S. Чертеж к задаче прилагаю, но не очень качественный. :с
P. P. S. Не могу отправить чертеж из-за ошибки на сервере.