Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство 1/x^2+1/y^2+1/z^2 больше...

Question

Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство 1/x^2+1/y^2+1/z^2 больше либо равно 1/xy+1/yz+1/zx Только пожалуйста объясните понятно

Answer 1

Обозначим обратные  x.y.zвеличины А,В,С. Неравенство преобразуется:
А*А+В*В+С*С больше либо равно АВ+ВС+АС
Рассмотрим очевидное: (А-В)^2+(А-С)^2+(В-С)^2>=0
Из него получим  2*(A^2+B^2+C^2)>=2*(AB+BC+AC)
Откуда следует то, что требуется. Равенство достигается при х=y=z
ОДЗ : переменные не равны 0.