Пусть имеем правильную пирамиду АВСS,
Проведём осевое сечение через ребро ВS.
Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS.
Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = √11.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
sinДSO = 2/x, sinВSO = √11/х.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√11.
Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√11/(√11/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х.
Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5.
А так как sinДSO = 2/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 2/х =1/√5.
Отсюда х = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5.
Высота h = ВД = 3х =3*2√5 = 6√5.
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ 309,8387 куб.ед.