Применим тождество COS (3X ) = 4 * [ COS ( X ) ] ^ 3 -3* COS ( X )
SIN ( X ) + 4 * [ COS ( X ) ] ^ 3 - 3* COS ( X ) = 0
Проведя тождественные преобразования , получим :
SIN ( X ) + COS ( X ) * {1 – 4 * [SIN ( X ) ] ^2} = 0
Разделим почленно данное выражение на COS ( X ) ≠ 0 , получим :
tan (X ) +1 – 4 * [SIN ( X ) ] ^2 = 0
Применим тождество [SIN ( X ) ] ^2 = [tan (X ) ]^2 / { 1+ [tan (X ) ]^2 }
Получим : tan (X ) +1 .- 4 * [tan (X ) ]^2 / { 1+ [tan (X ) ]^2 } = 0
Обозначим tan (X ) через Y. Тогда будем иметь :
Y +1 – ( 4 * Y ^2 ) / ( 1 + Y ^2 ) = 0 или Y +1 = ( 4 * Y ^2 ) / ( 1 + Y ^2 )
Умножим обе части на ( 1 + Y ^2 ) ≠ 0 , тогда будем иметь
Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 = 0
Методом подбора найдём корень Y1 = 1
Разделив Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 на Y – 1 будем иметь :
Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 = ( Y – 1 ) * ( Y ^2 – 2 * Y – 1 )
Решая уравнение ( Y – 1 ) * ( Y ^2 – 2 * Y – 1 ) = 0
Получим : Y1 = 1 ; Y2 = 1 – sgrt (2 ) ; Y3 = 1 + sgrt (2 )
Перейдя к обратной подстановке , получим :
X1 = Пi / 4 + k*Пi ;
X2 = arctan( 1 - sgrt(2)) + n* Пi
X3 = arctan( 1 + sgrt(2)) + m* Пi