Пусть g — фиксированная прямая (рис. 191).
Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка X' называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке Х' есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).
Теорема Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство.
Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат (рис. 195). Пусть произвольная точка А (х; у) фигуры F переходит в точку А' (х'; у') фигуры F'. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком:
х'= —х.
Возьмем две произвольные точки А(х1; y1) и В (х2; y2)- Они перейдут в точки А' ( — х1, y1) и В' ( —x2; y2).
Имеем:
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
A'B'2 =(-x2 + x1)2+(y2-y1)2.
Отсюда видно, что АВ=А'В'. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.