Дан квадрат АВСД и равносторонний треугольник АДМ отрезок СМ пересекает отрезок АД в...

Question

Дан квадрат АВСД и равносторонний треугольник АДМ отрезок СМ пересекает отрезок АД в точке К. Найдите угол АКМ

Answer 1

ΔADM - равносторонний ⇒
AM = DM = AD, ∠ADM = ∠AMD = ∠MAD = 60°;

ABCD - квадрат ⇒
AB = AD = BC = CD, ∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°;

CD = MD ⇒ ΔCDM - равнобедренный ⇒ ∠MCD = ∠DMC
∠CDM = ∠ADC + ∠ADM = 90° + 60° = 150°

По теореме о сумме углов треугольника 
∠CDM + ∠MCD + ∠DMC = 180°
150° + ∠MCD + ∠DMC = 180°
∠MCD + ∠DMC = 30°
∠MCD = ∠DMC = 15°

∠AMK = ∠AMD - ∠DMC = 60° - 15° = 45°
∠AMK + ∠MAD + ∠AKM = 180°
45° + 60° + ∠AKM = 180°
∠AKM = 75°

Ответ: 75°