Решите неравенство: 2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

0 голосов
20 просмотров

Решите неравенство: 2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

Алгебра (54 баллов) | 20 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
2^{ \frac{x}{x+1} }- 2^{ \frac{5x+3}{x+1} }+8 \leq 2^{ \frac{2x}{x+1}

ОДЗ: 
x+1 \neq 0
x \neq -1

2^{ \frac{x}{x+1} }- 2^{ \frac{2x}{x+1} } \leq 2^{ \frac{5x+3}{x+1} }-8

2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{ \frac{3x+3}{x+1} }* 2^{ \frac{2x}{x+1} } -8

2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{ \frac{3(x+1)}{x+1} }* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8

2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{3}* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8

2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 8* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8

Замена:
2^{ \frac{x}{x+1} }=t, t\ \textgreater \ 0

t-t^2 \leq 8t^2-8

t-t^2-8t^2+8 \leq 0

-9t^2+t+8 \leq 0

9t^2-t-8 \geq 0

D=(-1)^2-4*9*(-8)=289

t_1= \frac{1+17}{18}=1

t_1= \frac{1-17}{18}=- \frac{8}{9}

     +                     -                 +
-----------[-8/9]------------[1]-------------
/////////////                         /////////////
---------------------(0)---------------------
                           //////////////////////

t \geq 1

2^{ \frac{x}{x+1} } \geq 1

2^{ \frac{x}{x+1} } \geq2^0

{ \frac{x}{x+1} } \geq0
 
        +                 -                    +
--------------(-1)------------[0]------------------
/////////////////                      ////////////////////

Ответ: (- ∞ ;-1) ∪ [0;+ ∞ )
(83.6k баллов)
Похожие задачи