|x-1|+|x-3|=6
Решение
Найдем корни подмодульных выражений:
х - 1 = 0, х = 1;
х – 3 = 0, х = 3.
Полученные числа разбивают числовую прямую на 3 промежутка: (-∞; 1), [1; 3), [3; +∞),
на каждом из которых оба подмодульных выражения сохраняют постоянный знак.
Следовательно, на каждом из найденных промежутков можно заменить модули либо подмодульными выражениями, либо выражениями, противоположными им.
Рассмотрим каждый интервал:
а) при x < 1</span>
x - 1 < </span>0, x – 3 < </span>0, поэтому по определению модуля |x - 1| = -x + 1, |x – 3| = -x + 3.
Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
-х +1 – х + 3 = 6,
-2х + 4 = 6
-2х = 2
х =-1
Это значение принадлежит промежутку (-∞;1), то есть является решением исходного уравнения.
б) при 1≤ x < 3 <br>x - 1 ≥ 0, x – 3 < 0, поэтому по определению модуля |x - 1| = x - 1, |x – 3| = -x + 3. <br>Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
х -1 – х + 3 = 6,
2 = 6
На данном интервале корней уравнения нет.
в) при x ≥ 3
x - 1 > 0, x – 3 > 0, поэтому по определению модуля |x - 1| = x - 1, |x – 3| = x - 3.
Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
х -1 + х - 3 = 6,
2х - 4 = 6
2х = 10
х = 5
Это значение принадлежит промежутку [3; +∞), то есть является решением исходного уравнения
Ответ: -1; 5
|x-1|-|x-3|=2
Решение
Найдем корни подмодульных выражений:
х - 1 = 0, х = 1;
х – 3 = 0, х = 3.
Полученные числа разбивают числовую прямую на 3 промежутка: (-∞; 1), [1; 3), [3; +∞),
на каждом из которых оба подмодульных выражения сохраняют постоянный знак.
Следовательно, на каждом из найденных промежутков можно заменить модули либо подмодульными выражениями, либо выражениями, противоположными им.
Рассмотрим каждый интервал:
а) при x < 1 <br>x - 1 < 0, x – 3 < 0, поэтому по определению модуля |x - 1| = -x + 1, |x – 3| = -x + 3. <br>Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
-х +1 -(-х + 3) = 2,
-2 = 2
На данном интервале корней уравнения нет.
б) при 1≤ x < 3 <br>x - 1 ≥ 0, x – 3 < 0, поэтому по определению модуля |x - 1| = x - 1, |x – 3| = -x + 3. <br>Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
х -1 -(-х + 3) = 2,
2х-4 = 2
2х = 6
х = 3
Это значение не принадлежит промежутку [1;3), то есть не является решением исходного уравнения
в) при x ≥ 3
x - 1 > 0, x – 3 > 0, поэтому по определению модуля |x - 1| = x - 1, |x – 3| = x - 3.
Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
х -1 -( х - 3) = 2,
2 = 2
Следовательно весь интервал является решением данного уравнения
Ответ:[3;+∞)
|x-2|x²=10-5x
Решение:
Найдем корень подмодулного выражения:
х - 2 = 0, х = 2.
Полученное число разбивает числовую прямую на 2 промежутка: (-∞; 2), [2; +∞),
Рассмотрим каждый интервал:
а) при x < 2
x - 2 < 0 поэтому по определению модуля |x - 2| = -x + 2. <br>Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
(-х +2)х² = 10-5х
(-х +2)х² = 5(2-х)
(2-х)х²-5(2-x) = 0
(2-x)(x²-5) = 0
(2-x)(x-√5)(x+√5) = 0
x=2 не принадлежит промежутку (-∞;2)
х=√5 не принадлежит промежутку (-∞;2)
х=-√5 - принадлежит промежутку (-∞;2), то есть является решением исходного уравнения.
б) при x ≥ 2
x - 2 ≥ 0 поэтому по определению модуля |x - 2| = x - 2.
Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
(х - 2)х² = 10-5х
(х - 2)х² = 5(2-х)
(х-2)х² + 5(х-2) = 0
(x-2)(x²+5) = 0
x=2 принадлежит промежутку [2;+∞), то есть является решением исходного уравнения.
Ответ:-√5; 2