Система уравнений: (x+y)(x+y+z)=72 (y+z)(x+y+z)=120 (x+z)(x+y+z)=96

Question

Система уравнений:
(x+y)(x+y+z)=72
(y+z)(x+y+z)=120
(x+z)(x+y+z)=96

Answer 1

Сложим все три уравнения и вынесем за скобку х+у+z. Получим
2(x+y+z)²=72+120+96
(x+y+z)²=144.
Откуда х+у+z=12 или х+у+z=-12.
В первом случае система становится
х+у=6
у+z=10
x+z=8, откуда, вычитая из второго первое, z-x=4,  и складывая с последним 2z=12, т.е. z=6, х=2, у=4. Аналогично во втором случае, х=-2, у=-4, z=-6. Ответ: (2;4;6) и (-2;-4;-6).

Answer 2

Сложим уравнения:
(x+y)(x+y+z)+(y+z)(x+y+z)+(x+z)(x+y+z)=288
(x+y+z)(2x+2y+2z)=288
(x+y+z)²=144
x+y+z=12 или x+y+z=-12
Пусть x+y+z=12, тогда получаем систему
{x+y=6
{y+z=10
{x+z=8
Умножим второе уравнение на -1 и сложим все 3 уравнения.
x+y-z-y+x+z=4
x=2
Отсюда легко находим y=4 и z=6.
Пусть теперь x+y+z=-12
Система будет такой:
{x+y=-6
{y+z=-10
{x+z=-8
И ясно, что x=-2, y=-4, z=-6
Ответ: (2; 4; 6), (-2; -4; -6)

Comments

что-то не так со вторым ответом

---

Система ведь не меняется при изменении знаков каждой переменной.

---

Да. Спасибо.