Тк каждый знаком ровно с 10 людьми,то общее число знакомых пар равно: N=125*10/2 ,(делим на 2 Тк если суммировать по группам по 10,то знакомые пары будут встречаться повторно,то есть первый знает второго и второй знает первого) Предположим, что из ушедших людей нет знакомых,тогда очевидно,что число знакомых пар уменьшиться на 10*x,где x-число ушедших людей. (Надеюсь ясно). Пусть m - одинаковое число знакомых ,которое знает каждый из оставшихся людей (по условию). Ясно ,что 0 < m <10.
Тк число оставшихся знакомых пар будет равно: m*(125-x)/2
Тогда верно равенство:
125*10/2 - 10*x =m*(125-x)/2
1250-20*x=125*m-m*x
1250=125*m+20*x-mx
1250=(125-x)*(m-20) +20*125
-1250=(125-x)*(m-20)
1250=(125-x)*(20-m)
1250=5^4 *2
Тк 125-x<5^4=625,то 20-m кратно 5.
10 <20-m <20. Тогда 20-m=15,что кратно 3,но 1250 не делиться на 3. То есть мы пришли к противоречию. Значит среди ушедших есть знакомые.