Всего n сторон, на каждой стороне может быть либо +1 либо -1 ( как результат произведения того, что в вершинах: (-1)*(-1) = 1, или (-1)*1 = -1, или 1*1 = 1). Все стороны можно разбить на две группы: те, на которых 1; и те, на которых (-1). Пусть количество сторон первой группы = A, а количество сторон второй группы B.
A>=0; B>=0.
По условию S = A*1 + B*(-1) = A-B = 0. Отсюда следует, что A=B. То есть количество сторон первой группы равно количеству сторон второй группы. Но A+B = n. Отсюда следует, что n = A+A=B+B = 2A=2B.
То есть количество сторон n - это четное число (то есть делится на 2).
Рассмотрим теперь сумму значений в вершинах, пусть для определенности сумма значений в вершинах = m. У нас есть две группы сторон. Каждой стороне можно приписать сумму двух вершин, которые эта сторона соединяет, пусть это будет значение 
, i - это номер стороны (их всего n, их можно занумеровать).
Тогда сумма: 
. Почему 2m? Потому что в такой сумме значение в каждой вершине будет подсчитано ДВА РАЗА, так как из каждой вершины выходят две стороны.
Для тех сторон, на которых написано (-1) очевидно 
будет равно 0. Теперь рассмотрим стороны, на которых написано (1). Их можно также разбить на две группы: те, что соединяют (-1) и (-1), и те, что соединяют (1) с (1). Пусть первых С, а вторых D. Тогда
2m = (-2)*C + (2)*D. Кроме того, C+D=A = n/2. Имеем:
m = D - C;
(n/2) = D+C.
Отсюда (n/2) + m = 2D, или n/2 = 2D - m. Запомним это.
Теперь разобьем сами вершины на две группы - те в которых (-1) - пусть их количество K; и те, в которых (1) - пусть их количество L. Тогда
K+L = n, и m = 1*L + (-1)*K, то есть
L-K = m.
Отсюда n+m = 2L,
и m = 2L - n, т.к. мы доказали ранее, что n - четное, то m - тоже четное, как разность четных чисел (разность четных чисел - всегда четное).
Пусть m = 2*q. Теперь вспомним то равенство: n/2 = 2D-m, подставляем туда m=2q, получаем n/2 = 2D - 2q = 2*(D-q), <=> n = 2*2*(D-q) = 4*(D-q).
То есть n делится нацело на 4.