300 баллов. Массивный стальной диск приклеен к платформе плоских пружинных весов,...

Question

300 баллов. Массивный стальной диск приклеен к платформе плоских пружинных весов, собственная масса которых мала по сравнению с массой диска. Штатно стоящим на краю скамейки весам с диском – сообщают продольную скорость, и они плашмя падают на пол, до удара смещаясь по горизонтали на 43 см. После падения весы продолжают двигаться в том же направлении до тех пор, пока они не подскакивают над полом строго вертикально. Максимальные незашкаливающие показания весов соответствуют тройному весу стального диска. Найти смещение весов при их движении по полу.

Comments

коэффициент трения известен ?

---

На пятёрку – нужно решение без интегрирования с введением дополнительной подвижной инерциальной системы. Такое решение, вроде как, можно "объяснить на пальцах".Если у вас будет просто "нормальное" решение без "фазовых времён" и даже с интегрированием – всё равно интересно. А если без интегрирования, то – совсем супер.

---

или самому ввести ?

---

Нам показали "неправильное" решение через инвертированное фазовое время. За единицу времени вместо секунды принимают 1/2п-ую чать периода, и при этом ω = 1. Для упрощения преобразований. И рассматривают всё с конца в начало, когда горизонтальная скорость растёт от нуля. С интегированием синусов и косинусов. Получается ответ S/So=2π/3√3 ≈ 52/43.Это решение – объявлено "неоптимальным" :–)

---

Тут ещё поднимали вопрос о том, "трясётся" ли дно весов, когда они падают на пол. Выяснили, что нужно считать что нет, поскльку их масса мала и мелкие быстрые колебания во время полёта (в невесомости) полностью затухают. Так что пружина в момент перед ударом оказывается полностью расправлена. При этом предполагалось, что мы сами "и так" должны были бы это понять :–)

---

А может быть, и определяемый. Он хотя бы – безразмерный.

---

Откуда берётся 52/43 не очень понятно. Возможно, это что-то иррациональное.

---

Ответ 52 см.

---

Неа. Он, видимо неопределимый, вместе с жёсткостью пружины, высотой скамейки, массой диска и т.п.

---

(в ответе присутствует коэффициент трения ?)

Answer 1

Тело падает с высоты H где попадает на пружину. пружина при нормальных условиях сжалась бы на величину h (mg=kh) но в данном случае за счет потенциальной энергии тела она сжалась в 3 раза больше
mg(H+3h)=k(3h)^2/2 => kh(H+3h)=k(3h)^2/2 => (H+3h)=9h/2 => H=3h/2
тело падает с высоты H и потратило на падение время t1
H=gt1^2/2 => t1=sgrt(2H/g)=sgrt(3h/g)
.......................
смотри полное решение во вложениях (два файла в разном формате но по содержимому дублируют друг-друга)

---

Скачать вложение Adobe Acrobat (PDF)

---

Скачать вложение Word (DOC)

Comments

Вот. Точно! Всё так и получается. Если ввести инерциальную систему, которая всё время движется со скоростью вдвое меньше горизонтальной скорости весов до падения – то тогда всё ясно без интегрирования и видно, что ваше «приближение» – абсолютно точное.

Обозначим начальную горизонтальную скорость весов – как Vxo, а время от момента падения весов до отскока – как τ .

---

выходит не зря потратил время на расчеты. Вам спасибо за комментарии - узнал парочку полезных приемов.

---

Вы, конечно, там, после вторых много-звёздочек – расписали всё на полную катушку! У меня просто глаза разбежались! Выходит, что рассматривать "фазовое время" вместо нормального, и положить w = 1 – совсем неплохая идея :–). Это заметно снижает нагрузку в преобразованиях. А посольку в неопределённом коэффициенте ответа – w может содержаться только в нулевой степени, то значит ничего и не теряется.

---

Перед много-звёздочьями можно заметить, что ∆t/t1 = 4π/3√3, а поскольку средняя скорость на ∆t в два раза меньше, то отношение S/So вдвое меньше, т.е. S/So = 2π/3√3.

---

Одним словом – полное смещение весов за время удара относительно скейта равно нулю. Т.е., средняя скорость весов за время удара – точно равна скорости скейта, т.е. Vxo/2 . Чем и подтверждается абсолютная точность вашего решения в данной физической модели!

---

Причём, хоть ускорение и переменное, но на одинаковых интервалах времени по разные стороны от МВНС – все ускорения одинаковы, а значит на одинаковых интервалах времени по разные стороны от МВНС – одинаковы и все скорости.

А отсюда следует, что расстояние, которое проедут весы относительно скейта до МВНС равно по модулю расстоянию, которое проедут весы относительно скейта после МВНС. Причём второе расстояние – это движение назад.

---

Иными словами, в момент времени τ/2 от начала удара (МВНС) – горизонтальная скорость весов – вдвое меньше их начальной горизонтальной скорости и равна Vxo/2.

Запустим по полу вдоль движения весов – скейт с постоянной скоростью Vxo/2. Будем теперь всё движение весов рассматривать относительно скейта. Тогда в МВНС – скорость весов равна нулю. До МВНС – весы движутся вперёд равнозамедленно, а после – назад и тоже равнозамедленно.

---

В это время происходит абсолютно упругий удар, а значит, все состояния пружины после самого сильного сжатия – повторяются в обратном порядке, как во времени, так и по вертикальной оси в пространстве.

Стало быть, после момента времени наибольшего сжатия (МВНС) – повторяются в обратном порядке во времени все значения силы упругости, а значит и силы трения, которая действует на весы. Т.е. потеря горизонтального импульса и скорости весов до МВНС – равна потере импульса и скорости после МВНС.

---

Спасибо!