Эта задача проще, чем кажется.
1. ВМ = МС и МА = МС (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. Дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).
Таким образом, МС = АВ/2.
2. РМ - биссектриса угла ВМС, и МО - биссектриса угла СМА. В сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов РМС и СМО равна 90 градусов. То есть треугольник РМО - прямоугольный.
3. Конечно, МС - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол РМС = угол СОМ = а.
4. Отсюда РМ = МС/cos(а) = AB/(2*cos(a));
5. Это всё :)
Между прочим, треугольник АВС тоже прямоугольный :))) не хотите доказать?
Это я так, для себя больше.
Тут есть способ, который сразу напрашивается - угол ВСМ равен половине угла ВРС, а угол АСМ - половине угла АОС, и углы ВРС и АОС в сумме равны 180 градусов.
Правильное решение, но есть более простое :) как я уже упоминал ,точки А, В и С равноудалены от точки М, то есть если построить окружность на АВ, как на диаметре, то угол ВСА будет вписанным углом, на него опирающимся. Значит, он прямой.