Под каким углом к горизонту нужно бросить с Земли тело, чтобы его максимальная высота...

Запишем закон движения и изменения скорости тела
$x(t)= v_0\cos\alpha t\\ y(t)= v_0\sin\alpha t-gt^2/2\\ v_y(t) = v_0\sin\alpha-gt$

В наивысшей точке подъема vy=0 отсюда

$v_y(\tau) = 0\\ v_0\sin\alpha - g\tau = 0\\ \tau = v_0\sin\alpha/g \\ H = y(\tau) = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

Когда тело упадет на землю y =0 отсюда

$y(\tau_2) = 0\\ v_0\sin\alpha\tau_2-g\tau_2^2/2 = 0\\ \tau_2 = 2v_0\sin\alpha/g\\ L = x(\tau_2) = \frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha$

Максимальная высота и длина такие

$H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\\\\ L = \frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha$

Отсюда

$\frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = 4\\\\ \cot\alpha = 1\\\\ \alpha = 45^\circ$