Для начала представим число z=√3+i в тригонометрической форме
|z|(cosФ+isinФ):
|z|=|√3+i|=√((√3)²+1)=2
Ф=argz=arg(√3+i)=arctg((√3)/3)=π/6
z=2(cos(π/6)+isin(π/6)). Теперь извлечем корень по формуле Муавра:
z^(1/5)=2^(1/5)*(cos((π/6+2πk)/5)+isin((π/6+2πk)/5)), k=0,1,2,3,4
Подставляем значения k и записываем пять возможных корней:
z0=2^(1/5)*(cos(π/30)+isin(π/30))
z1=2^(1/5)*(cos(13π/30)+isin(13π/30))
z2=2^(1/5)*(cos(5π/6)+isin(5π/6))=-2^(1/5)*((√3)/2-(1/2)i)
z3=2^(1/5)*(cos(37π/30)+isin(37π/30))
z4=2^(1/5)*(cos(49π/30)+isin(49π/30))