Доказать неравенство,если х больше 0,у больше 0,l больше 0

Разделим неравенство на 8, получим:
$( \frac{1+ \frac{x}{y} }{2} )(\frac{1+ \frac{y}{z} }{2})( \frac{1+ \frac{z}{x} }{2} ) \geq 1$
Как известно, (a+b)/2≥√ab (неравенство Коши). Поэтому:
$\frac{1+ \frac{x}{y} }{2} \geq \sqrt{ \frac{x}{y} } \\ \frac{1+ \frac{y}{z} }{2} \geq \sqrt{\frac{y}{z} } \\ \frac{1+ \frac{z}{x} }{2} \geq \sqrt{ \frac{z}{x} } \\ ( \frac{1+ \frac{x}{y} }{2} )(\frac{1+ \frac{y}{z} }{2})( \frac{1+ \frac{z}{x} }{2} ) \geq \sqrt{ \frac{x}{y} \frac{y}{z} \frac{z}{x} } =1$
Что и требовалось доказать.