при каких отрицательных значениях k прямая y=kx-4 имеет с параболой y=x^2+2x ровно одну...

Подставим у= kx-4 в квадратичную функцию.

$kx-4=x^2+2x\\ \\ x^2+(2-k)x+4=0$

Вычислим дискриминант квадратное уравнение по следующей формуле:

$D=b^2-4ac=(2-k)^2-4\cdot1\cdot4=(2-k)^2-16$

Квадратное уравнение имеет один единственный корень, если

дискриминант квадратного уравнения равно нулю, то есть $D=0$

$(2-k)^2-16=0\\ \\ (2-k+4)(2-k-4)=0\\ \\ -(6-k)(k+2)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$k_1=6\\ k_2=-2$

Из условии нужно взять отрицательное значение k: то есть k=-2 и найдем

для него координаты точки касания.

$-2x-4=x^2+2x\\ \\ x^2+4x+4=0\\ \\ (x+2)^2=0\\ \\ x=-2\\ \\ y=-2\cdot(-2)-4=4-4=0$

A(-2;0) - искомые координаты.