50 баллов, ПРОСТЕЙШАЯ задача ** дифференциалы! Пусть f(x) = x*x, если x<= 2, и f(x)=ax+1,...

Question

50 баллов, ПРОСТЕЙШАЯ задача на дифференциалы!

Пусть f(x) = x*x, если x<= 2, и f(x)=ax+1, если x>2.
Как выбрать коеффициант a, чтобы эта функция была дифференциируемой в точке x=2?

Ответ в учебнике a=4, но мне кажется, это бред, поскольку 4x+1=9 <> x*x=4.

Как мне кажется,
1) функция ax+1 должна иметь в точке x=2 то же значение, что и x*x
2) функция ax+1 должна быть касательной к параболе x*x.

Пожалуйста, дайте правильный ответ или объясните ответ из учебника.

Answer 1

Скорее всего в учебнике опечатка в условии задачи. Если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна. Поэтому вы правы, и нужно добиться одновременного выполнения ваших условий 1) и 2). Первое выполняется при условии 2^2=2а+1, откуда а=3/2. Но тогда левосторонняя производная в точке х=2 равна 2*2=4, а правосторонняя в х=2 равна 3/2. Т.к. они не равны, то функция недифференцируема в х=2. Таким образом такого а не существует.