Поверхность банки состоит из двух крышек (круги, S1=pi*R^2) и боковой поверхности, которая есть прямоугольник, скрученный в цилиндр.
Длина прямоугольника равна длине окружности крышки (C=2pi*R),
а высота равна высоте банки H. Площадь боковой поверхности
S2 = 2*pi*R*H
Площадь поверхности банки, то есть расход жести:
S = 2*S1 + S2 = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*H
Объем банки нам известен:
V = pi*R^2*H, отсюда
H = V/(pi*R^2)
Подставляем в формулу площади поверхности:
S = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*V/(pi*R^2) = 2*pi*R^2 + 2*V/R
Чтобы найти точку минимума, нужно приравнять к 0 производную по R.
S' = 4*pi*R - 2*V/R^2 = 0
2(2*pi*R^3 - V) = 0
V = 2*pi*R^3
Но по формуле объема
V = pi*R^2*H
Значит
2*pi*R^3 = pi*R^2*H
Делим на pi и на R^2
2*R = H
Ответ: наименьший расход будет, когда высота банки равна диаметру.