Во-первых, ясно, что пружина не разожмётся обратно на целый сантиметр, поскольку оба шара будут немного отклонены в разные стороны от равновесия и таким образом будут поджимать пружину, каждый со своей стороны. Т.е. отклонение каждого шара будет составлять менее 1 см по горизонтали. Из этого следует, что синусы углов, на которые отклоняться шары – составит менее 1/200. При таких углах, относительное отличие синуса, тангенса и самого угла, выраженного в радианах – составляет порядка [1/200]² ≈ 1/40000 < 2.5*10^(-5). Так что мы вправе воспользоваться равенством:
α ≈ tgα ≈ sinα ;
β ≈ tgβ ≈ sinβ – с точностью до пяттого знака после запятой.
Отклонение левого груза, в таком случае, мы можем записать, как αL.
Отклонение правого груза, в таком случае, мы можем записать, как βL.
Общее отклонение грузов в разные стороны, т.е. удлинение пружины составит:
αL+βL = (α+β)L ;
Учитывая, что с самого начала пружина была сжата на Δl, её деформация после установлдения равновесия составит:
Δl – (α+β)L ;
Стало быть сила Гука, вызываемая деформацией пружины составит:
k( Δl – (α+β)L ) ;
С другой стороны, в ситуации равновесия, сила Гука с обеих сторон должна уравновешивать горизонтальные составляющие сил напряжения в стержнях:
m1 g α = k( Δl – (α+β)L ) = m2 g β ;
Выразим из крайних членов двойного равенства второй угол:
β = [m1/m2] α ;
Из первого уравнения двойного равенства:
m1 g α = k ( Δl – ( α + [m1/m2] α ) L ) ;
[ m1 g / k ] α = Δl – α ( 1 + [m1/m2] ) L ;
( ( 1 + [m1/m2] ) L + [ m1 g / k ] ) α = Δl ;
α = Δl / ( ( 1 + [m1/m2] ) L + [ m1 g / k ] ) ;
аналогично:
β = Δl / ( ( 1 + [m2/m1] ) L + [ m2 g / k ] ) ;
Вычислим:
α ≈ 0.01 / ( 1 + 1/2 + [ 9.8 / 147 000 ] ) = 0.01 / ( 1 + 1/2 + 1/15 000 ) ≈ 0.01/1.5 ;
α ≈ 1/150 ≈ 0.382° ≈ 22.9' – большее отклонение более лёгкого шара ;
β ≈ 0.01 / ( 1 + 2 + [ 2 * 9.8 / 147 000 ] ) = 0.01 / ( 1 + 2 + 1/7500 ) ≈ 0.01/3 ;
β ≈ 1/300 ≈ 0.191° ≈ 11.5' – меньшее отклонение более тяжёлого шара .