Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая...

Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АМК

Answer 1

Т.к. ВМ - медиана треугольника АВС, то S(ABM)=S(MBC)

Т.к. АК - медиана треугольника АВМ,

!!! то S(ABK)=S(AKM)=S(ABM)/2=S(MBC)/2

Проведем МД так, что МД || КР, тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВДМ, а МД - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РД=ДС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. Тогда

S(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВР

S(МВС)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

Тогда  S(KBP)/S(МВС) = 1/ 6, а значит

!!! S(KPСМ)/S(МВС) = 5/6.

Сравниваем строчки , помеченные !!! и получаем  S(AМK) : S(KPСМ) = 2: 6/15 = 5/12