с начало база индукций , ее всегда нужно проверять, просто подставим для начало
n=3 => 36 справа слева так же значит верно
теперь 1+2*2*2+3*3*3 итд можно представить ввиде 1^3+2^3+3^3...
как известно это сумма (1+2+3)^2 => то есть ее рекурентно можно записать ввиде (n+n+1+n+2..)^2
теперь при к=1. наша база верна , теперь надо доказать при n=k+1 , то есть индуктивный переход.
n*n(n+1)(n+1)/4 =n^2(n+1)^2/4
1+2^3+3^3+n^3 =n(n+1)^2/4
n= k+1
1+2^3+3^3+n^3...(n+1)^3 = n(n+1)^2/4 + (n+1)^3
слева =>(1+2+3+...n+(n+1))^2= можно представить ввиде арифм прогрессий с d=1
как известно формула такая
Sn=2a1+d(n-1)/2 *n =2+1(n-1)/2 *n = 2+n-1/2 * n = n(n+1)/2
но у нас там квадрат , стало быть
Sn^2=(n(n+1)/2)^2 = n^2(n+1)^2/4
чтд