помогите,пожалуйста,решить систему x^2-2y^2=17 x^2-2xy=-3 - Все ответы

Дан 1 ответ

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^{2}-2y^{2}=17,\\x^{2}-2xy=-3.\end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$ , получим:

$y=\frac{x^{2}+3}{2x}$ --------(1)

Поскольку $x=0$ не является корнем 2-го уравнения нашей системы, то подставив в первое уравнения системы вместо $y$ выражение (1), мы не потеряем решений системы:

$x^{2}-2*\frac{(x^{2}+3)^{2}}{(2x)^{2}}=17$ , отсюда

$\frac{2x^{4}-x^{4}-6x^{2}-9}{2x^{2}}=17$ , отсюда

$x^{4}-40x^{2}-9=0$ ---------(2)

Замена: пусть $z=x^{2}$ , тогда (2) примет вид:

$z^{2}-40z-9=0$ --------(3)

(3) - квадратное уравнение относительно $z$

$D=1600+4*9=1636$

$z_{1}=\frac{40+2*\sqrt{409}}{2}=20+\sqrt{409}$

$z_{2}=\frac{40-2*\sqrt{409}}{2}=20-\sqrt{409}<0$

Но второй корень не удовлетворяет условию 0" alt="z^{2}>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Возвращаясь к старой неизвестной, получим:

$x^{2}=z_{1}=\frac{40+2*\sqrt{409}}{2}=20+\sqrt{409}$ -------(4)

Из (4) получаем два значения $x$ :

$x_{1}=\sqrt{20+\sqrt{409}}$

$x_{1}=-\sqrt{20+\sqrt{409}}$

Подставим в первое уравнение системы вместо $x^{2}$ выражение (4), найдем соответствующие значения $y$ :

$20+\sqrt{409}-2y^{2}=17$ , отсюда

$y^{2}=\frac{3+\sqrt{409}}{2}$ --------(5)

Из (5) получаем два значения $y$ :

$y_{1}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}}$

$y_{2}=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}}$

Итак, наша система имеет четыре решения:

$(\sqrt{20+\sqrt{409}}; \sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}})$

$(\sqrt{20+\sqrt{409}}; -\sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}})$

$(-\sqrt{20+\sqrt{409}}; \sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}})$

$(-\sqrt{20+\sqrt{409}}; -\sqrt{\frac{3+\sqrt{409}}{2}})$

Geometr_zn (378 баллов) 30 Янв, 18