Иррациональное неравенство. Требуется объяснение, решать ничего не надо. Текст из...

Question

56 просмотров

Иррациональное неравенство. Требуется объяснение, решать ничего не надо.
Текст из учебника:
" Пример. Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x-1}\ \textgreater \ 3-x$
Решение. Область определения неравенства задаётся условием: x-1≥0, т.е. x≥1. Правая часть неравенства обращается в нуль при x=3, и она отрицательна при x>3. Учитывая эти условия утверждаем, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
$1.\quad \left \{ {{1 \leq x \leq 3} \atop {x-1\ \textgreater \ (3-x)^2}} \right. \\\\2. \quad \left \{ {{x\ \textgreater \ 3} \atop {\sqrt{x-1}\ \textgreater \ 3-x}} \right.$

Вторая система понятна мне. А вот в первой системе это условие непонятно $1 \leq x \leq 3}$

Алгебра karavanov1_zn (787 баллов) 08 Май, 18 | 56 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это условие вытекает из двух условий.
1 условие : рассматриваем случай, когда правая часть неотрицательна (положительна или ноль), ведь левая часть, неотрицательный корень, может быть больше как положительного числа, так и нуля:
$3-x \geq 0\; \; \to \; \; x \leq 3$ .
2.Подкоренное выражение неотрицательно $x-1\geq 0\; \; \to \; \; x\geq 1$ .
Так как неравенства должны выполняться одновременно, то пересечение этих неравенств даст: $1\leq x\leq 3$ .

$\sqrt{f(x)} \ \textgreater \ q(x)\; \; \Leftrightarrow \; \; \left [ {{ \left \{ {{g(x) \geq 0} \atop {f(x)\ \textgreater \ g^2(x)}} \right. } \atop { \left \{ {{g(x)\ \textless \ 0} \atop {f(x) \geq 0}} \right. }} \right.$

Первую систему иногда пишут в виде $\left \{ {{g(x) \geq 0,\; f(x) \geq 0} \atop {f(x)\ \textgreater \ g^2(x)}} \right.$ . Но $f(x)\geq 0$ фактически лишнее неравенство, оно выполняется автоматически потому, что g^2(x)\geq 0" alt="f(x)>g^2(x)\geq 0" align="absmiddle" class="latex-formula"> , ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

NNNLLL54_zn (831k баллов) 08 Май, 18