^3(под корнем)x+6 + (под корнем)x+2 =4

$3^{\sqrt{x+6}}+\sqrt{x+2}=4$
$3^{\sqrt{x+6}}=4-\sqrt{x+2}$
Рассмотрим 2 функции:
$f(x)=4-\sqrt{x+2}, \ \ D(f)=[-2; +\infty), \ \ E(f)= (-\infty; 4] \\ g(x)=3^{\sqrt{x+6}}, \ \ D(g)=[-6; +\infty), \ \ E(g)= [1; +\infty).$
Таким образом множеством существования корней уравнения является
$[-2; +\infty)$
Функция f(x) монотонно убывает на D(f), а функция g(x) монотонно возрастает на D(g).
$f(-2)=4-\sqrt{-2+2}=4\\ g(-2)=3^{\sqrt{-2+6}}=3^2=9$
Отсюда следует, что графики двух функций f и g не пересекаются.
Уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.