Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми, диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1, АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1).
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК. Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с помощью треугольника АОС1.
$AC=a \sqrt{2};AO= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}a \sqrt{2};AC1=a \sqrt{3};$
$OC _{1}= \sqrt{OC ^{2} +CC _{1} ^{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2}a ^{2}+ a^{2} }=a \sqrt{ \frac{3}{2} } ;$
Пусть $AH=x; HC _{1}=AC _{1}-x;$
Выразим ОН из двух треугольников.
$OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2}=OC _{1}^{2}-HC_{1} ^{2};$
$\frac{1}{2}a ^{2}- x^{2} = \frac{3}{2}a^{2}-(a \sqrt{3}-x )^{2};$
$a^{2}+ x^{2}-3 a^{2}+2ax \sqrt{3} - x^{2} =0;$
$2ax \sqrt{3}=2 a^{2};x= \frac{a}{ \sqrt{3} };$
$OH= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2} - \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{ a^{2} }{6} } = \frac{a}{ \sqrt{6} }$
Ответ $\frac{a}{ \sqrt{6} }$

emerald0101_zn (12.2k баллов) 12 Март, 18