Положим что S=1.
Пусть геометрическая прогрессия с первым членом b и знаменателем q. Тогда квадраты ее членов тоже являются геометрической прогрессией с первым членом b^2 и знаменателем q^2 соответственно.
Тогда: S=b/(1-q)=b^2/(1-q^2)=1
b/(1-q)=1.
1)b^2/(1-q)^2=1 (возвели в квадрат)
2)b^2/(1-q^2)=1
Делим 1) на 2)
(1-q^2)/(1-q)^2=1
(1-q)*(1+q)/(1-q)*(1-q)=1
(1+q)/(1-q)=1
1+q=1-q
q=0.
То есть если такая прогрессия существует ,то ее знаменатель равен 0. Другими словами эта прогрессия имеет один единственный ненулевой член b=1,все остальные члены равны 0.
Но вот можно ли это назвать геометрической прогрессией вопрос чисто формальный.
По определению геометрической прогрессии в ней все члены отличны от нуля. Поэтому чисто формально такой прогрессии не существует. Вывод : такое невозможно.