Доказать методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется...

1. Проверяем для n=1
$1= \frac{1*2}{2}$ - верно
2. Предполагаем, что для n=k это равенство выполняется, т.е.
$1+2+...+k= \frac{k(k+1)}{2}$
3. Теперь докажем, что для n=k+1 равенство также выполняется:
$1+2+...+k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2} +(k+1)$ (по предположению из второго пункта) $= (k+1)( \frac{k}{2} +1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$ - что и нужно было доказать.