Как это доказывается через индуктивный метод?

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

База индукции
при n=1 тождество верно $sin x=\frac{sin \frac{(1+1)x}{2}*sin \frac{1*x}{2}}{sin \frac{x}{2}}$

Гипотеза индукции
Пусть тождество верно при натуральном n=k

Индукционный переход
Докажем что тогда тождество верно и при n=k+1
$sin x+sin 2x+...sin kx+sin(k+1)x=$ используем гипотезу индукции
$=\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}*sin \frac{kx}{2}}{sin \frac{x}{2}}+sin(k+1)x=$

$\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}*sin \frac{kx}{2}+sin(k+1)xsin\frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}}=$
использовали формулу синуса двойного угла и вынесли общий множитель за скобки
$\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+2cos \frac{(k+1)x}{2}sin \frac{x}{2})=$
используем формулу умножения синуса на косинус
$\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+sin (\frac{x}{2}- \frac{(k+1)x}{2})+sin (\frac{x}{2}+\frac{(k+1)x}{2}))=$
обычные преобразования дробей
$\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+sin (\frac{-kx}{2})+\sin \frac{(k+2)x}{2})=$
используем нечетность синуса
$\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}-sin (\frac{kx}{2})+\sin \frac{(k+2)x}{2})=$
получаем нужное равенство для n=k+1
$\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(\sin \frac{(k+2)x}{2})=$
По приниципу математической индукции тождество верно для любого натурального значения числа n

dtnth_zn (408k баллов) 12 Март, 18